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Thèse préparée par Jean‐​Charles CROIX

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Titre : A new decom­po­si­tion of Gaussian ran­dom ele­ments in Banach spaces with appli­ca­tion to Bayesian inver­sion

Résumé : 

L’inférence est une acti­vi­té fon­da­men­tale en sciences et en ingé­nie­rie : elle per­met de confron­ter et d’ajuster des modèles théo­riques aux don­nées issues de l’expérience. Ces mesures étant finies par nature et les para­mètres des modèles sou­vent fonc­tion­nels, il est néces­saire de com­pen­ser cette perte d’information par l’ajout de contraintes externes au pro­blème, via les méthodes de régu­la­ri­sa­tion. La solu­tion ain­si asso­ciée satis­fait alors un com­pro­mis entre d’une part sa proxi­mi­té aux don­nées, et d’autre part une forme de régu­la­ri­té.

Depuis une quin­zaine d’années, ces méthodes intègrent un for­ma­lisme pro­ba­bi­liste, ce qui per­met la prise en compte d’incertitudes. La régu­la­ri­sa­tion consiste alors à choi­sir une mesure de pro­ba­bi­li­té sur les paramètres du modèle, expli­ci­ter le lien entre don­nées et para­mètres et déduire une mise‐​à‐​jour de la mesure ini­tiale. Cette pro­ba­bi­li­té a pos­te­rio­ri, per­met alors de déter­mi­ner un ensemble de para­mètres com­pa­tibles avec les don­nées tout en pré­ci­sant leurs vrai­sem­blances res­pec­tives, même en dimen­sion infi­nie.

Dans le cadre de cette thèse, la ques­tion de l’approximation de tels pro­blèmes est abor­dée. En effet, l’utilisation de lois infini‐​dimensionnelles, bien que théo­ri­que­ment attrayante, néces­site sou­vent une dis­cré­ti­sa­tion pour l’extraction d’information (cal­cul d’estimateurs, échan­tillon­nage). Lorsque la mesure a prio­ri est Gaussienne, la d’e­com­po­si­tion de Karhunen‐​Loève est une réponse à cette ques­tion. Le résul­tat prin­ci­pal de cette thèse est sa g ́en ́era­li­sa­tion aux espaces de Banach, beau­coup plus natu­rels et moins res­tric­tifs que les espaces de Hilbert. Les autres tra­vaux déve­lop­pés concernent son uti­li­sa­tion dans des appli­ca­tions avec don­nées réelles.

Financeur :

Soutenance pré­vue : Octobre 2018

Mots clés :

Directeurs de thèse :

Co‐​encadrement :

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